MAKALAH HIMPUNAN BILANGAN, RELASI, DAN FUNGSI

Juli 01, 2017

MAKALAH HIMPUNAN BILANGAN, RELASI, DAN FUNGSI

A. HIMPUNAN & BILANGAN

1. Pengertian Himpunan & Anggota Himpunan

Himpunan adalah kumpulan objek yang dapat didefinisikan dengan jelas. Benda atau objek dalam himpunan disebut elemen atau anggota himpunan. Dari definisi tersebut, dapat diketahui objek yang termasuk anggota himpunan atau bukan.

Anggota Himpunan adalah Setiap objek yang termasuk dalam suatu himpunan disebut anggota/unsur/elemen himpunan tersebut. Untuk menyatakan suatu objek merupakan anggota himpunan, ditulis dengan lambang “Î” sedangkan untuk menyatakan suatu objek bukan, anggota himpunan ditulis dengan lambang “Ï”

2. Macam - Macam Himpunan Berdasarkan Jumlah Anggotanya

Macam-macam himpunan :

1. Himpunan bilangan asli

A = { 1, 2, 3, 4, 5, ... }

2. Himpunan bilangan cacah

C = { 0, 1, 2, 3, 4, .... }

3. Himpunan bilangan prima

P = { 2, 3, 5, 7, 11, .... }

4. Himpunan bilangan genap

G = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, .... }

5. Himpunan bilangan ganjil

G = { 1, 3, 5, 7, 9, .... }

6. Himpunan bilangan komposit (tersusun)

T = { 4, 6, 8, 9, 10, 12, .... }

7. Himpunan tak hingga

A = { 1, 3, 5, 7, ..... }, (n)A = ∞ (jumlah anggota himpunan A adalah tak terhingga)

8. Himpunan berhingga

B = { 1, 3, 5, 7 }, (n)A = 4 (jumlah anggota himpunan B adalah sebanyak 4)

9. Himpunan kosong

K = { himpunan bilangan prima antara 7 dan 9 }, K = { } (jumlah anggota himpunan K adalah tidak ada atau kosong)

10. Himpunan bagian

A = {2, 3, 5 } dan B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Semua anggota himpuna A adalah merupakan anggota himpunan B. Sehingga dapat dikatakan bahwa; A bagian dari B, ditulis A c B atau B memuat A ditulis B ﬤ A

11. Himpunan semesta

Bila A = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka beberpa himpunan semesta pembicaraan yang mungkin untuk A adalah;
S = { bilangan asli }
S = { bilangan cacah }
S = { bilangan kelipatan 2 }

3. Operasi Antar Himpunan Berserta Contohnya

Untuk menyatakan suatu himpunan, dalam bidang matetaika dapat dinyatakan dengan beberapa cara, diantaranya:

a) Menyatakan himpunan dengan menggunakan kata-kata atau menyebut syarat-syaratnya

*Contohnya adalah;
- A = { bilangan prima kurang dari 20 }
- B = { bilangan asli antara 7 sampai 25 }

b) Menyatakan himpunan dengan menyebutkan atau mendaftar anggota-anggotanya

Yaitu dengan cara anggota himpunan dituliskan di dalam kurung kurawal dan antara anggota yang satu dengan yang lainnya dipisahkan dengan tanda koma.

*Contohnya adalah;

- A = { jeruk, salak, jambu, semangka, mangga }
(untuk himpunan yang anggotanya sedikit atau terbatas)
- B = { Aceh, Medan, Padang, Palembang, Bengkulu, Lampung, ....., Makasar }
(untuk himpunan yang anggotanya banyak tapi terbatas)
- C = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, ..... }
(untuk himpunan yang jumlah anggotanya banyak dan tidak terbatas)

c) Menyatakan himpunan dengan notasi pembentuk himpunan

Cara menyatakana himpunan dengan notasi pembentuk himpunan adalah dengan mengikuti aturan berikut ini;

a) Benda atau objeknya dilambangkan dengan sebuah peubah (a, b, c, ...., z)
b) Menuliskan syarat keanggotaannya dibelakang tanda ‘I’

*Contohnya adalah;

- A = { x I x < 7, x bilangan asli }
Dibaca: himpunan setiap x sedemikian hingga x adalah kurang dari 7 dan x adalah bilangan asli.
- B = { (x,y) I y + x = 7, x dan y bilangan asli }
Dibaca: himpunan pasangan x dan y sedemikian hingga y ditambah x sama dengan 7 untuk x dan y adalah bilangan asli.

d) Menyatakan himpunan dengan diagram Venn

Perhatikan gambar diagram Venn di bawah ini!

Gambar: A = { Jerapah, Macan, Zebra, Gajah }

Diagram tersebut di atas memberikan gambaran bahwa;
A = { 1, 2, 3, 4, 5 }

4. Himpunan Bilangan dan Sifat – Sifat Bilangan

· Himpunan Bilangan Asli

Bilangan asli merupakan bilangan yang sering kita gunakan, seperti untuk menghitung banyaknya pengunjung dalam suatu pertunjukan seni atau banyaknya tamu yang menginap di hotel tertentu. Bilangan asli sering pula disebut sebagai bilangan natural karena secara alamiah kita mulai menghitung dari angka 1, 2, 3, dan seterusnya. Bilangan-bilangan tersebut membentuk suatu himpunan bilangan yang disebut sebagai himpunan bilangan asli. Dengan demikian, himpunan bilangan asli didefinisikan sebagai himpunan bilangan yang diawali dengan angka 1 dan bertambah satu-satu.

Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf A dan anggota himpunan dari bilangan asli dinyatakan sebagai berikut.

A = {1, 2, 3, 4, …}.

· Himpunan Bilangan Cacah

Dalam sebuah survei mengenai hobi siswa di kelas tertentu, diketahui bahwa banyak siswa yang hobi membaca 15 orang, hobi jalan-jalan sebanyak 16 orang, hobi olahraga sebanyak 9 orang dan tidak ada siswa yang memilih hobi menari. Untuk menyatakan banyaknya anggota yang tidak memiliki hobi menari tersebut, digunakan bilangan 0. Gabungan antara himpunan bilangan asli dan himpunan bilangan 0 ini disebut sebagai himpunan bilangan cacah.

Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf C dan anggota himpunan dari bilangan cacah dinyatakan sebagai berikut:

C = {0, 1, 2, 3, 4,…}.

· Himpunan Bilangan Bulat

Himpunan bilangan bulat adalah gabungan antara himpunan bilangan cacah dan himpunan bilangan bulat negatif. Bilangan ini dilambangkan dengan huruf B dan anggota himpunan dari bilangan bulat dinyatakan sebagai berikut:
B = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}.

· Himpunan Bilangan Rasional

Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang dapat dinyatakan

dalam bentuk , dengan p, q ∈ B dan q ≠ 0. Bilangan p disebut pembilang dan q disebut penyebut. Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan huruf Q. Himpunan dari bilangan rasional dinyatakan sebagai berikut:

· Himpunan Bilangan Irasional

Himpunan bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan p, q anggota B dan q ≠ 0. Contoh bilangan irasional adalah bilangan desimal yang tidak berulang (tidak berpola), misalnya: 2 , π, e, log 2. Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf I.

5. Perbedaan Bilangan Bulat dan Bilangan Riil

Ø Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, 3, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0 sehingga tidak lagi dimasukkan secara terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.

Ø Bilangan riil atau bilangan real

Dalam matematika menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3,25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan . Bilangan riil juga dapat dilambangkan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.

B. RELASI

1. Definisi Relasi

Relasi adalah hubungan antara dua elemen himpunan. Hubungan ini bersifat abstrak dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara konkrit maupun secara matematis. Jika R suatu relasi yang menghubungkan dengan , maka kita dapat menulisnya dengan atau . Dimana x disebut prapeta y, ydisebut peta atau bayangan dari x (ditulis: y = R(x)). Himpunan A disebut daerah asal atau domain, himpunan B disebut daerah kawan atau kodomain dan himpunan yang dibentuk dari prapeta pada anggota A yang merupakan anggota himpunan B disebut daerah hasil atau range. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.

Contoh :

A = {a,b,c,d}, B = {1,3,2,4} dan R relasi dari A ke B yang ditunjukkan dengan “kuadrat dari”, maka relasi tersebut dapat digambarkan seperti diagram di bawah ini.

Domain : {a,b,c,d}

Kodomain : {1,3,2,4}

Range : {1,3,2,4}

2. Relasi dengan matriks relasi dan diagram panah

· Matriks Relasi

· Diagram Panah

Langkah-langkah cara menyatakan relasi dengan diagram panah:

a.Membuat dua lingkaran atau ellips

b.Untuk meletakkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B x=A

diletakkan pada lingkaran A dan y=B diletakkan pada lingkaran B

c. x dan y dihubungkan dengan anak panah

d. Arah anak panah menunjukkan arah relasi

e. Anak panah tersebut mewakili aturan relasi

Contoh :

3. Relasi Invers dan Komposisi Relasi

· Relasi Invers

· Komposisi Relasi

4. Perbedaan Sifat Relasi

· Refleksif

Suatu relasi bersifat reflektif , jika setiap x є A, maka (A,A) є R

Contoh :

v B = {1,2,3} dan R = {(x,y)│x,y є B, xy > 0}

Periksa apakah R reflektif atau tidak

Peny :

B x B = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,3) dari hasil kali Cartesian kita memperoleh R = {(1,1),(2,2),(3,3)}. Karena semua hasil xy > 0 dan x є B, maka R adalah relasi yang reflektif.

v A = {-1,0,1} dan R = {(x,y)│x,y є A, xy > 0}

Periksa apakah R reflektif atau tidak

· Transitif

Suatu Relasi bersifat transitif, jika setiap x,y,z є A dengan xRy, yRz, dan xRz

Contoh :

v A = {-1,0,1} dan R = {(x,y) │x,y є A, x ≥ y}

Periksa apakah R transitif atau tidak

Peny :

A x A = {(-1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,-1), (0,0), (0,1), (1,-1), (1,0), (1,1)} dari hasil kali Cartesian kita memperoleh,

R = {(-1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,0), (0,1), (1,1)}

Dari sini jelas terlihat bahwa untuk setiap (x,y,z є A) dengan xRy dan yRz, berlaku xRz

v N = {G,U,T} dan R = {(G,U), (T,U), (U,G), (G,T)

Periksa apakah R transitif atau tidak

· Simetris

Suatu relasi bersifat simetrik, jika untuk setiap x,y є A dengan xRy dan yRx

Contoh

v M = {-2,-1,0,1,2} dan R = {(x,y) │x,y є M, xy > 0}

Periksa apakah R simetris atau tidak

Peny :

M x M = {(-2,-2), (-2,-1), (-2,0), (-2,1), (-2,2), (-1,-2),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2)

(0,-2), (0,-1), (0,0), (0,1), (0,2), (1,-2), (1,-1), (1,0), (1,1), (1,2),(2,-2)

(2,-1), (2,0), (2,1), (2,2)}, dari hasil kali Cartesian kita memperoleh

R = {(-2,-2), (-2,-1), (-1,-2), (-1,-1), (1,1), (1,2), (2,2)}

Dari sini jelas terlihat bahwa untuk setiap (x,y) є R berlaku (y,x) є R dengan x,y є M. Jadi R adalah sebuah relasi yang simetris.

v B = {-2,-1,0,1,2} dan R = {(x,y) │x,y є B, x ≤ y }

Periksa apakah R simetris atau tidak

· Anti Simetri

Suatu Relasi bersifat antisimetris, jika untuk setiap x,y є A dengan xRy dan yRx maka x = y.

Contoh :

v A = {-2,-1,0,1,2} dan R = {(x,y) │x,y є A, y = │x }

Periksa apakah R antisimetris atau tidak

Peny :

M x M = {(-2,-2), (-2,-1), (-2,0), (-2,1), (-2,2), (-1,-2),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2)

(0,-2), (0,-1), (0,0), (0,1), (0,2), (1,-2), (1,-1), (1,0), (1,1), (1,2),(2,-2)

(2,-1), (2,0), (2,1), (2,2)}, dari hasil kali Cartesian kita memperoleh

R = {(-2,2),(-1,1),(1,1),(0,0),(2,2)}

Dari sini jelas terlihat bahwa untuk setiap (x,y) є R berlaku (y,x) є R dengan x,y є A. Jadi R adalah sebuah relasi yang antisimetris.

v G = {B,A,M} dan R = {(B,A), (A,B), (B,M), (M,B), (A,M)}

Periksa apakah R antisimetris atau tidak

C. FUNGSI

1. Definisi Fungsi

Fungsi dalam matematika adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (Kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasil ( Range). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim.

Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contoh sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y=f(2x), yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis f(5)=10.

Pada fungsi, terdapat beberapa istilah penting, di antaranya:

– Domain yaitu daerah asal fungsi f dilambangkan dengan Df.

– Kodomain yaitu daerah kawan fungsi f dilambangkan dengan Kf.

– Range yaitu daerah hasil yang merupakan himpunan bagian dari kodomain. Range fungsi fdilambangkan dengan Rf.

2. SIFAT-SIFAT FUNGSI

A. FUNGSI INJEKTIF

Disebut fungsi satu-satu . Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi satu-satu (injektif), apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B. Selanjutnya secara singkat dapat dikatakan bahwa f:A→B adalah fungsi injektif apabila a ≠ b berakibat f(a) ≠ f(b) atau ekuivalen, jika f(a) = f(b) maka akibatnya a = b.

B. FUNGSI SURJEKTIF

Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain Bterdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

C. FUNGSI BIJEKTIF

Suatu pemetaan f: A→B sedemikian rupa sehingga f merupakan fungsi yang injektif dan surjektif sekaligus, maka dikatakan “f adalah fungsi yang bijektif” atau “ A dan B berada dalam korespondensi satu-satu”.

3. JENIS-JENIS FUNGSI

A. FUNGSI LINEAR

Fungsi pada bilangan real yang didefinisikan : f(x) = ax + b, a dan b konstan dengan a ≠ 0 disebut fungsi linear

B. FUNGSI KONSTAN

Misalkan f:A→B adalah fungsi di dalam A maka fungsi f disebut fugsi konstan jika dan hanya jika jangkauan dari f hanya terdiri dari satu anggota.

C. FUNGSI IDENTITAS

Misalkan f:A→B adalah fungsi dari A ke B maka f disebut fungsi identitas jika dan hanya jika range f = kodomain atau f(A)=B.

D. FUNGSI KUADRAT

Fungsi f: R→R yang ditentukan oleh rumus f(x) = ax2 + bx + c dengan a,b,c ∈ R dan a ≠ 0 disebut fungsi kuadrat.

4. PENGERTIAN DOMAIN, KODOMAIN DAN RANGE

Domain disebut juga dengan daerah asal, kodomain daerah kawan sedangkan range

adalah daerah hasil.

Contoh : Diketahui himpunan P = { 1,2,3,4 } dan himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Relasi dari himpunan P ke himpunan Q dinyatakan dengan " setengah dari ".

Jika relasi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan menjadi :

{ (1,2),(2,4),(3,6),(4,8) }.

Relasi di atas merupakan suatu fungsi karena setiap anggota himpunan P mempunyai tepat satu kawan anggota himpunan Q.

Dari fungsi di atas maka :

Domain/daerah asal = himpunan P = { 1,2,3,4 }

Kodomain/daerah kawan = himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Range/daerah hasil = { 2,4,6,8 }

Jika A = {2, 3, 6} B = {2, 4, 6, 8, 10, 11}. Relasi dari himpunan A ke B adalah “

Faktor dari “, nyatakanlah relasi tersebut dengan :

a. Diagram Panah

b. Diagram Cartesius

c. Himpunan pasangan berurutan.

Jawab:

c. Himpunan pasangan berurutannya :{(2, 2), (2,4), (2, 6), (2, 8), (2, 10), (4, 4),

(4, 8),(6, 6)}

Domain, Kodomain dan Range

Pada relasi dari himpunan A ke B, himpunan A disebut Domain (daerah asal) himpunan B disebut Kodomain (daerah kawan) dan semua anggota B yang mendapat pasangan dari A disebut Range (derah hasil).

Contoh 3 :

Tuliskan Domain, Kodomain dan Range dari relasi Contoh 2 di atas :

Jawab:

Domain = {2, 4, 6}

Kodomain = {2, 4, 6, 8, 10, 11}

Range = { 2, 4, 6, 8, 10}

Contoh 4

Tentukanlah domain, kodomain dan range dari relasi di bawah ini:

Jawab:

a. Domain = { 3, 5 }

Kodomain = { 1, 2, 6, 8, 9}

Range = { 1, 2, 8}